《概率论与数理统计》.pdf

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第6章介绍了几个常用统计量的抽样分布，引进统计量的目的在于对感兴趣的问题进行 统计推断．而在实际问题中，虽然所研究的总体分布类型已知，但分布中含有一个或多个未 知参数，根据样本如何构造适当的统计量估计所有未知参数，这就是参数估计问题． 参数估计有点估计（ Point Estimation）和区间估计（ Interval Estimation）两种形式．下面 首先介绍点估计． 7.1 点 估 计 7.1.1 点估计的概念 定义7.1.1 设总体X的分布函数为 (; )Fx ，是未知参数， 12 ,,, n XX X 是取自总体 X 的一个样本，相应样本值为 12 ,,, n xxx，为估计未知参数 ，需构造一个适当的统计量 12 ˆ (, ,, ) n XX X  ， 然后用其观察值 12 ˆ (, , , ) n xxx  来估计的值，称 12 ˆ (, ,, ) n XX X  为 的估计量，而 12 ˆ (, , , ) n xxx  为的估计值．在不致混 淆的情况下，估计量与估计值统称为 点估计，简称为估计，并简记为 ˆ . 由于估计量 12 ˆ (, ,, ) n XX X  是一个随机变量，是样本的函数，即是一个统计量，对不同 的样本值， 的估计值 ˆ 一般是不同的 . 下面介绍获得点估计的两种常用方法——矩估计法和极（最）大似然估计法． 7.1.2 矩估计法 英国统计学家 K.Pearson于1900年提出了一个替换原理，后来人们称此方法为 矩估计法 或矩法（ Moment Method of Estimation）．矩估计法的基本思想是用样本矩替换相应的总体矩， 用样本矩函数去替换相应的总体矩的函数．若不够良好，再做适当调整．下面介绍矩法的一 般做法 . 设总体X的分布函数 1 (;,,) k Fx  中含有k个未知参数 1 ,, k ，则： （1）设总体 X的前k阶矩 () l l EX （1lk≤≤ ）存在，求出 () l l EX （1lk≤≤ ）， 一般都是这 k个未知参数的函数，记为 1 (, , ) ll k    ，1, 2, , .lk （2）设 l A（1lk≤≤ ）为样本 k阶矩，用样本矩去替换总体矩，即 7? ? ô y ? 121 令 11 1 21 2 1 (,,) (,,) (,,) k k lkl A A A                   （7.1.1） （3）求出方程组（ 7.1.1）的解 12 ˆˆ ˆ ,,, k ，称 12 ˆˆ (, ,, ) ll n XX X  为参数 l （1lk≤≤ ） 的矩估计量， 12 ˆˆ (, , , ) ll n xxx  为参数 l （1lk≤≤ ）的矩估计值． 【例7.1.1】 设 12 ,,, n XX X 是取自总体 X的样本，总体 X的概率密度为 (1),0 1 () 0, xx fx     其他 其中 1 且未知，求参数 