第1章 函 数
1.1 知 识 要 点
本章内容主要包括实数的分类，实数的绝对值，函数的概念，分段函数与隐函数，函数
的四种基本特性，即奇偶性、单调性、周期性和有界性，反函数与复合函数及 6大类基本初等
函数等．
1.1.1 函数
（1）函数有三要素，即定义域、对应法则和值域．当定义域和对应法则确定以后，值域
随之确定．
（2）函数的表示方法主要有公式法、图示法以及表格法等，其中公式法是函数关系表示
的一种主要形式．
（3）分段函数是一种特殊的函数，在定义域的不同子集上具有不同表达式．
（4）函数的基本特性主要有四种，即奇偶性、单调性、周期性和有界性．
（5）常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数共 6大类函数统称
为基本初等函数 ．由基本初等函数经有限次四则运算和 (或)复合运算而得到的函数称为初等
函数．
几个常见的结论：
（1）
π
arcsin arccos
2
xx (| | 1)
x≤；
（2）
π
arctan arccot
2
xx
；
（3）
1π
arctan arctan ( 0)
2
xx
x
．
1.1.2 常用不等式
（1）||||||ab a b≤ ；
（2）
|||| ||||ab ab ≤ ；
（3）
||||||
1| | 1| | 1| |
ab a b
ab a b
≤ ；
（4）
22
111
nnn
ii i i
iii
ab a b
≤ ；
（5）当
π
2
x
时，
sin tanxxx≤≤ .
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1.1.3 反函数
设函数 ()yfx 的定义域为
f
D，值域为
f
Z．如果对于
f
Z中的每一个 y值，都存在唯一
地满足
()yfx 的
f
xD与之对应，这样确定的以 y为自变量、以x为因变量的函数称为函数
()yfx 的反函数，并记为
1
()xfy
．通常习惯上用 x表示自变量， y表示因变量，因此一
般将
()yfx 的反函数
1
()
xfy
记为
1
()yf x
．
显然，反函数
1
()
xfy
的定义域为
f
Z，值域为
f
D，且对任意的
f
yZ，有
1
[()]ffy y
，
对任意的
f
xD，有
1
[()]ffx x
．
单调函数一定存在反函数，且函数与反函数具有相同的单调性．
在同一坐标系下，函数 ()yfx 与其反函数
1
()xfy
的图像是重合的， ()yfx 与其反
函数
1
()yf x
的图像关于直线 yx
对称．
1.1.4 复合函数
设函数 ()yfu 的定义域为
f
D，函数 ()ux 的值域为 Z
，若
f
DZ
，则称
[()]yf x 为 ()yfu 和 ()ux 的复合函数 ，其中x为自变量， y为因变量， u为中间变量 .
1.1.5 关于函数表达式的求解
本章一个重要的题型就是函数表达式的求解，数学
《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》.pdf