第1章 函数与极限
1.1 函 数
一、基本要求
（1）理解邻域的概念，函数的基本概念 .
（2）掌握函数的表示方法，基本初等函数，初等函数，分段函数 .
二、考点知识概述
1．邻域
0
xx ，即开区间
00
,xx 称为点
0
x的邻域，记作
0
,Ux或
0
Ux.
把
0
x去掉，即
0
0xx ，称为去心邻域，记作
o
0
,Ux
或
o
0
Ux.
2．函数
设有两个变量
x与y，变量x的变化范围为实数集合 D，如果存在一个确定的法则（或对
应规则） f，使得对于每个 xD都有唯一的一个实数 y与之对应，则称 y是x的函数，记作
yfx ，x称为自变量， y称为因变量， f表示x与y之间的对应规则 .
3．函数的表示方法
（1）解析法：显函数，隐函数，参数方程，复合函数，反函数 .
（2）表格法 .
（3）图像法 .
4．常用函数
（1）基本初等函数：
① 常数函数
yc（c常数）.
② 幂函数
yx
（为常数） .
③ 指数函数
x
ya 01.aa（且）
④ 对数函数
log
a
yx 01.aa（且）
⑤ 三角函数
sinyx、 cosyx、 tan
y x 、 coty x 、 secyx 、 cscyx.
注：?? hx? ??g.
⑥ 反三角函数 arcsinyx 、 arccosyx 、 arctany x 、 arccoty x .
（2）初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合，并用一个式子表
·2· 高等数学（上册）同步辅导分册
示的函数称为初等函数。
（3）分段函数 .
如
1
0
x
fx
x
，为有理数
，为无理数
.
三、常用解题技巧
求函数的定义域：
（1） 若函数式含有分式，则分母不为 0.
（2） 若函数式含有开偶次方根式，则被开方数非负 .
（3） 若函数式含有对数，则真数大于 0，底大于 0且不等于 1.
（4） 若函数式含有反正弦或反余弦，则反正弦或反余弦符号下式子的绝对值要不大于 1.
（5） 若函数式含有正切符号，则正切符号下的式子的值不能为
π
π
2
K；若函数式含有余
切符号，则余切符号下的式子的值不为
πK（K为整数） .
（6） 函数具有实际意义时，除了考虑上述要求外，还要根据实际意义来确认其定义域，
如正方形边长为
x，面积为 y，则
2
yx, 0,x.
四、典型题解
【例1】下列各题中，函数 ()fx与()gx是否相同？
（1）
22
() ( ), ()fxxgxx .
（2）
22
() 1, () sin cosfxgx xx .
解 （1）不相同，因为定义域不同， [0, ), ( , )
fg
DD .
（2）相同，因为定义域都是 R，且对应法则也相同 .
【例2】确定下列函数的定义域 .
（1）
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