第一章 随机事件及其概率
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第一章 随机事件及其概率
随机试验
随机试验具有下列特点：
1. 可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行 ；
2. 可观察性：试验结果可观察 ，所有可能的结果是明确的 ；
3. 不确定性：每次试验出现的结果事先不能准确预知 。
概率的统计定义
在相同条件下重复进行 n次试验，若事件A发生的频率
n
Ar
Af
n
n
)(
)(= 随着试验次数 n
的增大而稳定地在某个常数
p( )10≤≤p附近摆动，则称
p
为事件的概率，记为 )(AP。
概率的公理化定义
设E是随机试验， S是它的样本空间 ，对于E的每一个事件 A赋予一个实数 ，记为 )(AP，
若 )(AP满足下列三个条件 ：
1. 非负性：对每一个事件 A，有 0)(≥AP ；
2. 完备性： 1)(=SP ；
3. 可列可加性：设 ,,
21
AA 是两两互不相容的事件，则有
1
1
( ) ()
ii
i
i
P A PA
∞∞
=
=
=∑
。
则称 )(AP为事件A的概率。
古典概型
我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型：
1. 随机试验只有有限个可能的结果 ；
2. 每一个结果发生的可能性大小相同。
因而古典概型又称为等可能概型。在概率论的产生和发展过程中，它是最早的研究对
象，且在实际中也是 最常用的一种概率模型。它在数学上可表述为 ：
在古典概型的假设下 ，我们来推导事件概率的计算公式。 设事件A包含其样本空间 S中
k个基本事件 ，即 },{}{}{
21 k iiieeeA = 则事件A发生的概率
1
1
() ( ) ( )
jj
k
k
ii
j
j
PA P e Pe
=
=
= = ∑
概率论与数理统计概要与训练
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kA
nS
= =
包含的基本事件数
中基本事件的总数
，称此概率为古典概率 ，这种确定概率的方法称为古典方法。 这
就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题。
几何概型
古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型。这里我们进一步研究样本
空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型—— 几何概型。
1. 设样本空间 S是平面上某个区域 ，它的面积记为 ()Sµ；
2. 向区域S内随机投掷一点， 这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入 S内任何部
分区域A的可能性只与区域 A的面积 )(Aµ成比例， 而与区域 A的位置和形状无关 。向区域
S内随机投掷一点 ，该点落在区域 A的的事件仍记为 A，则A概率为 )()( AAPλµ= ，其中λ
为常数，而 )()( SSPλµ= ，于是得
)(
1
Sµ
λ= ，从而事件 A的概率为：
()
()
()
A
PA
S
µ
µ
=
条件概率
设BA,是两个事件 ，且 0)(>AP ，则称
()
(|)
()
P AB
PB A
PA
= （
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