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线性代数是中学代数的继续和提高，而行列式是研究线性代数的基础工具，也是线性
代数的一个重要概念，它广泛应用于数学、工程技术及经济等众多领域．
本章主要介绍
n阶行列式的定义、性质及其计算方法．此外还要介绍用 n阶行列式求
解
n元线性方程组的克拉默（ Cramer）法则．
1.1 二阶与三阶行列式
1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
,
.
ax ax b
ax ax b
(1.1.1)
为消去未知数
2
x，以
22
a与
12
a分别乘以上列两方程的两端，然后两个方程相减，得
11 22 12 21 1 1 22 12 2
()aa aa x ba ab ；
类似地，消去
1
x，得
11 22 12 21 2 11 2 1 21
()aa aa x ab ba ．
当
11 22 12 21
0aa aa 时，求得方程组 (1.1.1)的解为
122 122
1
11 22 12 21
ba a b
x
aa aa
，
11 2 1 21
2
11 22 12 21
ab ba
x
aa aa
． (1.1.2)
式(1.1.2)中的分子、 分母都是 4个数分两对相乘再相减而得． 其中分母
11 22 12 21
aa aa 是
由方程组
(1.1.1)中的4个系数确定的，把这 4个数按它们在方程组 (1.1.1)中的位置，排成
两行两列（横排称为 行、竖排称为 列）的数表
11 12
21 22
,
aa
aa
(1.1.3)
表达式
11 22 12 21
aa aa 称为数表 (1.1.3)所确定的 二阶行列式 ，并记为
11 12
21 22
.
aa
aa
(1.1.4)
??? ? HQ
2
数
ij
a( 1,2; 1,2)ij 称为行列式 (1.1.4)的元素或元．元 素
ij
a的第一个下标 i称为行标，表 明
该元素位于第
i行，第二个下标 j称为列标，表明该元素位于第 j列．位于第 i行第j列的
元素称为行列式
(1.1.4)的(, )ij元．
上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆．参看图 1.1.1，把
11
a到
22
a的实连线
称为主对角线 ，
12
a到
21
a的虚连线称为 副对角线 ，于是二阶行列式便是主对角线上的两元
素之积减去副对角线上的两元素之积所得的差．
例1.1.1 计算二阶行列式
31
12
．
解：
31
32 1 17
12
．
例1.1.2 设
2
1
2
D
，问为何值时 0D？
解：
2
2
1
2(12)
2
D
，令 0D，则 0
或
1
2
，故当 0或
1
2
时， 0D．
利用二阶行列式的概念，式 (1.1.2)中
1
x，
2
x的分子也可写成二阶行列式，即
112
1
《线性代数（修订版）》.pdf