第1章 行 列 式
1.1 知 识 要 点
1.1.1 排列
把n个不同的元素排成一排，叫做这 n个元素的 全排列，简称排列， n个不同元素的所有
的排列的种数为 !n．
对于
n个不同的元素，先规定各元素之间有个标准次序（常用的标准是从小到大） ，于 是 n
个不同元素的任一排列中，某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称它们构成一个 逆
序，排列中逆序的总数称为这个排列的 逆序数，逆序数为偶数的排列称为 偶排列；逆序数为
奇数的排列称为 奇排列．
特别地，由
n个自然数 1, 2, ,n 组成的一个有序的数组称为一个 n级排列．规定 n级排列
的标准次序为从小到大，也称为 自然序，
n级排列
12 n
ii i的逆序数记为
12
()
n
Nii i；n级排列
的种数共有
!n个，其中奇排列、偶排列各占一半．
1.1.2 对换
将一个排列中的两个数对调，其余的数不动，就会得到一个新排列，称这样的一个变动
为对换．
对换的性质：
（1）排列经一次对换奇偶性发生改变；
（2）任意一个 n级排列与排列 1, 2, ,n 都可以经过有限次对换互变，并且所做对换的次数
与这个排列有相同的奇偶性．
1.1.3 n阶行列式
12
12
12
11 12 1
21 22 2 ()
12
12
(1)
n
n
n
n
n Njj j
jjnj
jj j
nn nn
aa a
aa a
aa a
aa a
，
这里
12 n
jjj
表示对所有的 n级排列
12 n
jjj求和．n阶行列式也可以简记为
ij
n
Da 或
det( )
ij
a，其中
ij
a( 1,2, , ; 1,2, , )injn 称为行列式的 元素．显然二阶、三阶行列式是 n阶
行列式的特例．
注 规定一阶行列式等于行列式中元素，即 ||aa
，注意不要与绝对值的记号混淆．
n
阶行列式的等价定义：
??? ? ?$> `0?Y? ·2·
12
12
12
11 12 1
21 22 2 ()
12
12
(1)
n
n
n
n
n Nii i
ii in
ii i
nn nn
aa a
aa a
aa a
aa a
．
1.1.4 行列式的性质
（1）转置 记
11 12 1
21 22 2
12
n
n
nn nn
aa a
aa a
D
aa a
，
11 21 1
12 22 2T
12
n
n
nn nn
aa a
aa a
D
aa a
，
T
D称为D的转置行列式 ，则行列式与其转置行列式相等，即有
T
DD.
（
2）换行（列） 交换行列式的两行（列） ，行列式变号．
（3）数乘 用数 k乘行列式等于将 k乘到行列式的某一行（列）中所有元素，反过来一个
行列式可以按行（列）提取公因式．特别的，若行列式中有一行元素为零，则行列式为零．
（4）倍加 将行列式某一行（列）的所有元素乘以一个数对应加到另一行
《线性代数深化训练与考研指导》.pdf