第1章摇线性规划001摇摇摇摇
第 1章
线性规划
线
性规划是运筹学的一个重要分支,它也是现代科学管理的重要手段之一,它可
以帮助管理者做出科学决策的一个有效的方法,在许多领域都有成功的应用案
例。如生产计划安排问题,对于在计划期内安排生产多种产品,生产不同单位
产品所需原材料及设备工时不同,同时不同产品的单位产品利润也不同,管理者如何安排
各种产品的产量,使得在资源有限的情况下公司获得最大利润?再如投资问题,如何从不
同的投资项目中选出一个投资方案使得投资的回报为最大?以上问题都可以利用线性规划
方法进行解决。
1.1摇线性规划问题及其数学模型
线性规划是研究在给定的约束条件下,求所考查的目标函数在某种意义下的极值问
题。自1947年美国数学家丹捷格(G.B.Dantzig)提出了求解线性规划问题的方法———单纯
形法之后,线性规划在理论上趋于成熟,在实际中的应用日益广泛与深入。特别是在能用
计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划问题之后,它的适用领域更
加广泛。从解决技术问题中的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济
计划与管理、决策等各个领域均可发挥重要作用;从范围来看,小到一个小组的日常工
作和计划安排,大至整个部门以致国民经济计划的最优方案的提出,都有用武之地。它
具有适应性强、应用广泛、计算技术比较简单的特点,是现代管理科学的重要基础和手
段之一。
摇摇1.1.1摇线性规划问题的数学模型
在生产管理和经济活动中,经常会遇到线性规划问题,如何利用线性规划的方法来进
行分析,下面举例来加以说明。
揖例1.1铱摇(生产计划问题)某公司在计划期内安排生产甲、乙两种产品,已知生产产
品甲需原材料B,生产产品乙需原材料A,生产单位产品甲、乙所需原材料及设备工时和
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甲、乙两种产品的单位产品利润等数据如表1.1所示;由于两种产品生产都在一个设备上
生产,且设备工时有限,公司管理者如何安排这两种产品的生产量,使得在资源有限的情
况下公司获得最大利润。
表1.1摇生产单位产品消耗原材料及占用设备工时
甲 乙 资源限制
原材料A(吨) 0 3 15
原材料B(吨) 4 0 12
设备(单位设备工时) 2 2 14
单位产品利润(万元) 2 3
现在需要确定这两种产品的产量,使公司获得最大利润。因此需要引入变量如下:
设生产产品A和生产产品B的产量用变量x
1、x
2来表示,则称x
1、x
2为决策变量。
若用Z表示该公司的利润,则该公司的利润值为
Z=2x
1+3x
2(万元)
因为在计划期内原材料A有15吨可
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